0. 變換演算法

0.0 混合變換

在上圖的中，假設每個座標系相對於前一個座標系都是已知的，現在已知cP要求aP
既然每個座標系相對前一個座標系都是已知的，那麼就意味著我們可以根據cP倒著一步步變換成aP

首先是變換成bP：

然後再由bP變換成aP：

當然，分開寫比較不簡潔，我們依然是比較習慣寫成一個單獨的表示式，那麼只要綜合上述兩個過程，聯立兩條式子，就可以得到下面這條簡單的表示式：

其中：

我們可以求得：

其實我個人更加喜歡從幾何的角度來觀察這個問題，感覺會更加簡單一點。已知cP要求aP的話，我們就需要找到{C}關於{A}的變換運算元，從直觀上看圖就可以知道，這是一個一般的變換運算元，其中包含了旋轉和平移。

首先單純看平移部分，我們可以發現其實是沿著aPcorg平移的，我們又可以得到：

接著我們單純看旋轉部分，我們無法直接得到從{A}到{C}的旋轉矩陣，但是我們知道從{A}到{B}的旋轉矩陣和從{B}到{C}的旋轉矩陣，因此我們可以得到：

至此，我們已經可以根據求得的資訊寫出一個一般變換的運算元了：

其實兩個結果是相同的。

0.1 逆變換

已知座標系{B}相對於{A}，為了得到{A}相對於{B}的描述，我們需要求出

的逆，我們可以直接將4x4的齊次變換矩陣求逆得到，但是這樣的操作並沒有使用到變換的性質，我們還可以使用另外一種方式，利用變換的性質求出逆矩陣。

首先我們明確一下要求的目標：

我們從位置向量開始考慮起，我們已知了aPborg，要求bPaorg，那麼就是一個將aPborg從{A}對映到{B}的過程。還記得一般座標系對映是怎麼做的嗎？

bingo~

看著上面這個式子，有沒有什麼想法？
將{B}座標系原點相對於{A}的描述重新映射回{B}，那不就是0嗎？
由此可化簡得到：

這就求出bPaorg了。
那麼接下來，我們看一下旋轉矩陣。
我們知道，旋轉矩陣是一個正交矩陣，正交矩陣又有著特殊的性質，其轉置等於逆

所以，輕而易舉，旋轉矩陣也求出來了。
至此，我們就可以得到完整的變換運算元：