\(Burnside\)引理的感性證明：

• 其中：\(G\)是置換集合，\(|G|\)是置換種數，\(T_i\)是第\(i\)類置換中的不動點數。

\[L = \frac{1}{|G|} * \sum T_i\]

我們以\(2*2\)的方格圖染色來舉例感性證明。

每個格子有\(2\)種方案，不考慮旋轉重構一共就有\(16\)種。

其中對於每一種等價類（也可以稱之為【旋轉軌道】），他們上面的所有方案都是旋轉重構的，我們只需要記一次就可以了。也就是說，我們所求的本質不同的方案數，其實就是等價類的個數。

• 置換\(trans\)的不動點：對於置換\(trans\)，置換後與自身相等不變的元素。

上面舉出兩種等價類的例子。可以看出，每一種等價類都在某些置換上是不動點（至少在0°是），且同一個等價類的所有元素，會同時作為\(/\)不作為某一個置換的不動點。手推一下可以得知，每一個等價類中所有元素，對不動點總數的貢獻和恰好為\(|G|\)。

舉例說明一下。

• \(e.g\)：
  • 元素\(13\)：在置換\({1, 2, 3, 4}\)中均為不動點
    • 和它同構的僅有它本身，該等價類對不動點貢獻\(=4\)
  • 元素\(15\)：在置換\(1, 3\)中為不動點。
    • 和它同構的共有\(|[1, 2]|=2\)個元素，該等價類對不動點貢獻\(=4\)
  • 元素\(i\)：在置換\(1,k + 1, 2k + 1, ...pK+1\)
    中為不動點
    • 和它同構的共有\(|[1, k]|=k\)個元素，該等價類對不動點貢獻\(=p*k=|G|\) （\(p =|G| / k\)）

由此我們就證出來了這個公式。其實證了也沒啥用，只是圖一個用著安心。

\[L = \frac{1}{|G|} * \sum T_i\]

Burnside引理的感性證明