太陽對流層的對流速度有多大？疾馳的警車發出警報聲，路人和警車上的人，聽到的頻率竟然不一樣？這兩個看似無關的問題，是如何聯絡到一起的？4 月 3 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十二期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，帶著網友們繼續探索關於太陽的各種現象，不僅複習了黑體輻射壓強公式、給出了從光子氣體統計模型出發的另一視角，而且講解了太陽對流層的運動規律，並詳細介紹了多普勒效應及其應用，最終利用光譜頻移資料成功估算了太陽對流層裡物質的對流速度。

複習黑體輻射壓強公式的推導

直播開始，張朝陽對上一次課程的內容進行了複習。根據流體靜平衡方程和理想氣體物態方程，平衡所需的壓強 P 和物質理想氣體提供的壓強分別是：

輻射層的密度和溫度都隨著半徑的增大而下降，平衡所需的壓強 P 正比於密度的一次方，而理想氣體壓強不僅正比於密度一次方，還正比於溫度一次方，因此會比 P 下降得更快。因此，僅僅考慮氣體壓強是不夠的，還需要考慮輻射層裡的光壓。

接著，又複習了黑體輻射壓強的推導。張朝陽解釋，黑體輻射的能量密度是 u，我們知道，光不是靜止的，某一處的光會朝所有方向以速度 c 輻射出去，因此單位立體角、單位面積、單位時間內的輻射能量為 uc/(4π)。於是，黑體表面上單位面積、單位時間的輻射能量為：

因為黑體表面只能向外輻射，所以立體角的積分範圍是半個球面。式子裡的 cosθ 因子，是考慮了光線傾斜時需要在相應方向對面積做投影。根據斯特番-波耳茲曼定律 I=σT^4，所以：

隨後，直播課開始計算輻射對於黑體表面的壓強。與上一節課的思路一樣，因為熱平衡，黑體吸收多少輻射就會發射出多少輻射，這就等效於輻射照射到黑體表面後全部被反射。對於單個光子，能量為 hν ，動量為 hν/c ，這兩者都是頻率依賴的，因此將輻射的能量密度分解成各個頻率的疊加：

然後單獨考慮每部分頻率在單位時間單位黑體表面上由於反射導致的動量變化。這和計算能量通量是類似的。先對特定立體角內的輻射計算其單位時間內射來的光子數，這用能量通量除以單個光子能量就可以得到：

其中的 cosθ 是因為傾斜方向需對面積做投影。每個光子由於反射，沿黑體表面法向的動量會改變 2cosθhν/c，於是單位面積單位時間的動量改變數為：

根據牛頓力學，單位時間的動量改變數等於力，又因為這是單位面積上的力，所以這就是壓強。對頻率和半球的立體角積分就得到總壓強。其中對 u_ν 進行頻率積分會得到 u，於是總壓強為：

這就是上一次課程中得到的黑體輻射壓強公式。

另一視角、更高觀點：光子氣體的熱統模型

帶著網友們複習過後，張朝陽介紹了另一種對黑體輻射壓強公式的理解方式。從單原子理想氣體入手，建立笛卡爾三維空間座標系，考慮氣體分子朝 x 軸對 y-z 面的碰撞，碰撞導致的壓強為：

其中 N_vx 和 n_vx 分別是具有 v_x 速度分量的粒子總數和數密度，V 為體積。考慮到體系的各向同性，x 方向速度平方的均值應與 y 方向的和 z 方向的均值相同，於是：

其中的 u_tr 上加一橫表示分子動能平均值。

而這裡我們要研究的是光子氣體，與理想氣體模型類似，卻又有所不同。光子的速度是光速 c，能量是 mc^2，相應的 u=n<mc^2>，於是光子氣體相應的壓強為：

這和前面用嚴格方法推導得到的結果一致。

太陽裡的多普勒效應：鐵原子跟隨對流動，吸收譜偏移測速度

接著，張朝陽回到太陽結構的主題上。他先介紹了輻射層的物理性質。在輻射層，溫度隨半徑增加而緩慢變化，導致溫度的梯度不大；但物質的密度會相對減小得很快，這就導致密度梯度很大。因此，在輻射層，離太陽中心比較遠的物質不會下沉，離太陽中心近的物質不會上浮，從而輻射層是比較靜態的。

而在對流層裡，溫度梯度很大，導致對流層表面的物質密度比對流層底部的物質密度大，這就使得表面物質下沉到底部而被加熱，底部物質上浮到表面而被冷卻，如此往復形成對流。

如何測量對流層的對流速度呢？張朝陽在課上利用多普勒效應進行了推導。為了進一步解釋，他展示了一篇關於利用多普勒效應測量太陽對流層對流速度的論文裡的圖片（注：論文編號為“arXiv:1712.07059”）。該圖片顯示了太陽的光譜（圖中紅色線），其中光譜的凹處對應著太陽元素的吸收。

(張朝陽展示的論文截圖)

可以看到，鐵元素的其中一個吸收位置，在 6300 埃附近 (1 埃 = 10^(-10) m)。如果對流層中的鐵元素上下移動，就會導致光譜的位置發生移動，這是多普勒效應的結果。

為了進一步說明，張朝陽在直播中講解了多普勒效應。他以聲波舉例，“當聲源向著我們走來時，聽到的聲音訊率將會增加；當聲源遠離我們運動，聽到的聲音訊率會降低。比如說，我們在鐵路旁邊，當火車迎面駛來時，會感覺火車發出的聲音比較尖，當火車駛過之後，就會感覺到火車的音調一下子降低了，這就是多普勒效應。”

(張朝陽推導光的多普勒頻移公式)

假設人站在地面，距離為 S 的聲源以速度 u 遠離此人 (當 u<0 相當於向人靠近)。在 0 時刻，聲源開始發出聲音，那麼人聽到聲音的時刻為 T1=S / v，其中 v 是聲速。聲源發出一個完整的波用時為週期 T，此時聲源已遠離 uT 距離，那麼人聽完整個波長的時刻是 T2=T+(uT+S)/v。(T2-T1) 是人接收到的聲波週期，它等於：

頻率等於週期的倒數，於是：

其中下標 d 表示考慮多普勒效應後的頻率。假如這個波不是聲波而是光波，還必須考慮相對論效應，此時前面式子中的 T 就不是光波週期。因為存在時間膨脹效應，這個 T 應為 γT0，其中 T0 是光源上發射一整個週期的固有時，也就是光波原來的週期。相應的，上述結果應該修改為：

同時，考慮到 u 小於 c 的情況，對頻率的式子做變數為 u / c 的泰勒展開，保留 u / c 的一次項得到：

此外，考慮波長的變化。因為波長乘以頻率等於光速，光速是個常數，所以：

於是：

這個式子可用於求太陽對流層的對流速度。

當對流層的鐵原子隨著對流運動時，把鐵原子看成光的接收者，在鐵原子的參考系上，太陽光源是運動的，從而導致鐵原子接收到一個偏移了的光譜，吸收了偏移光譜上特定頻率的光。在地球觀測者看來，在光譜線上，鐵原子的吸收位置偏移了。

張朝陽在直播中展示了前面提到的論文 (注：論文編號為“arXiv:1712.07059”），論文給出了測量資料，吸收位置偏移量約為 6 毫埃，代入前述公式即可得到對流速度：

這與論文裡的結果一致。

(張朝陽計算太陽對流層的對流速度)