光竟然具有壓力？氣壓不夠，光壓來湊！4 月 1 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十一期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，從太陽內部的流體靜平衡方程出發，估算輻射層的壓強。

他首先跟網友們討論了為什麼需要考慮光壓，然後推匯出了黑體輻射的光壓公式，進而應用到太陽輻射層的光壓估算中。最後以具體的數值結果闡明，在輻射層光壓可以部分地抵抗引力的收縮，維持太陽內部結構的平衡。

複習流體靜平衡方程，估算太陽中心壓強

直播開始，張朝陽先簡短地給網友們複習了太陽的內部結構，並強調說，雖然這個直播課程以計算為主，但是限於所能獲得的資料和計算工具，這裡進行的計算只是估算，它可以給出和真實值接近的數量級，但在數值上可能會存在偏差，不過其偏差範圍是可以容忍的。

隨後又複習了上節課推導的流體靜平衡方程。出發點與之前一樣，考慮流體微元在太陽引力和氣壓之間的平衡。流體微元取在與太陽中心距離為 r 的位置，是底面積為 dS、厚度為 dr 的沿徑向的薄柱體。因為均勻球殼對球殼內部的物體不會有引力作用，所以這個流體微元所受的引力均來自於半徑 r 以內的物質，這部分引力等效於所有這些物質均集中在球心處所產生的引力。微元受力平衡，列出方程為：

其中 Mr 是半徑 r 內的所有物質質量，ρ 為太陽內部密度且依賴於半徑 r。化簡就得到流體靜平衡方程：

張朝陽解釋，這只是決定太陽內部結構的方程之一。太陽內部的物質可以看作是理想氣體，因此有理想氣體的物態方程：

在太陽中心 dP / dr=0。這是因為在太陽中心附近 Mr 正比於 r^3，因此 dP / dr 正比於 r，從而導致 r=0 處 dP / dr=0。

他再次介紹了太陽內部的密度分佈。其中太陽中心處密度約為 150 g / cm^3，超過黃金的密度；沿半徑向外，密度逐漸下降，直至輻射區，密度降到約 0.2 g / cm^3。隨後將核心層的一些資料總結出來： Rc=Rs / 4，Vc=Vs / 64 (這兩式中，下標 c 表示核心 core，s 表示太陽 sun)，並且核心平均密度約是輻射層平均密度的 100 倍，這樣估算出來的核心層總質量約為太陽總質量的一半。

張朝陽表示，上次直播課使用的是 Mc=0.9Ms，估算出來的中心壓強偏大。按目前的資料，Mc=0.5Ms，可以重新得到太陽中心溫度 Pc 為 1.7×10^16 Pa，這個結果和目前公認的數值 2.3×10^16 Pa 更接近了。

估算輻射層壓強公式，論述為何需考慮光壓

緊接著，張朝陽寫出上次課程所推導的估算太陽中心壓強的公式, 其中平均密度是質量除以體積，且基於這次課程對 Mc 的估算，把上次課程中的 0.9 改為 0.5。：

代入 Rc=Rs / 4 化簡得到：

然後，把輻射層與核心層交界處的壓強記為 P1，接著對流體靜平衡方程積分得到關於 P1 的公式：

對於上式，張朝陽講解了估算思路，把 Mr 近似為核心層質量，密度用輻射層平均密度代替，於是得到：

他解釋，這個公式和前面 Pc 的公式很相似，前面的因子大致相同，從而輻射層平均密度是核心層平均密度的多少分之一，就會導致 P1 是 Pc 的多少分之一。根據 P1 的公式，可以把輻射層的壓強估算為：

也就是說，平衡所需的壓強正比於密度的一次方。他又立馬轉到另一方面說道，輻射區的理想氣體壓強是：

它不僅正比於密度，還正比於溫度，而溫度是隨著半徑增大而下降的。他強調，理想氣體的壓強終究會下降到無法提供足夠的壓力與引力平衡。

張朝陽解釋，必須考慮另一種壓力，那就是光壓。在核心層理想氣體的壓強很大，足以與引力形成平衡，並且光壓很小，可以忽略。而到了輻射層，這一點就不成立了，物質氣體提供的壓強變得比較小，無法與引力形成平衡，這時候光壓的作用相對來說更大，因此必須考慮光壓才能重新得到平衡的結果。

他進一步解釋，太陽核心產生的高能光子會在太陽內部不斷地與離子碰撞，導致平均行進速度非常緩慢。在輻射層，這些光子會提供一個量級可觀的壓力，用以抵抗引力的收縮。照射到人身上的太陽光的光壓是很小的，我們感受不到。但是在太陽內部這種極端環境下，光壓會非常大。

推導黑體輻射的光壓公式，估算太陽輻射層光壓量級

為了進一步分析輻射層的光壓，張朝陽先帶網友們推導黑體輻射的壓力公式。他將黑體輻射的能量密度記為 u，黑體輻射通量密度為 I，根據斯特番-波耳茲曼定律，I=σT^4。輻射通量密度是指黑體單位表面單位時間所輻射的能量，它包含了各個方向的輻射，因此，還需要考慮沿特定方向的單位時間單位面積輻射的能量，即面輻射強度。張朝陽將面輻射強度記為 I_Ω，其中 Ω 是下標，用於標明它是沿特定立體角的輻射能量。

他先建立 u 和 I_Ω 的關係。張朝陽表示，某一處的輻射能量，可以看成是由包裹住這一處的球表面所發射的輻射匯聚而成的。為了簡化，我們考慮一個半徑為 r 的球面，然後計算球心 (dr)^3 範圍內的輻射能量密度。取球面處的面積微元 dS，則球心處大小為 (dr)^3 的區域對 dS 的張角 dΩ 為：

設從 dS 發出的輻射逗留在 (dr)^3 裡的時間為 dt，那麼 dt=dr / c，其中 c 是光速。所以，從 dS 發出逗留在 (dr)^3 的輻射能為：

其中已經代入 dΩ 的公式。將這個結果除以 (dr)^3 就得到微元 dS 提供在球心處的能量密度：

對這個結果沿著整個球面積分就得到球心的能量密度：

或者等價地有 I_Ω=uc/(4π)。緊接著，再推導 u 和 I 的關係。根據定義有：

其中已經代入 I_Ω=uc/(4π) 用以化簡。接下來，開始推導輻射對黑體表面的壓強。當系統達到平衡時，黑體吸收多少輻射就會發射多少輻射，因此可以等效為輻射照射到黑體表面後被完全反射出來。另一方面，不同頻率的光子其能量和動量是不一樣的，因此需要單獨考慮每個頻率，從而要把 I_Ω 看成關於頻率的積分：

張朝陽表示，對於以 θ 角入射的頻率為 ν 的光，除以光子能量 hν 就可以算出入射光子數，由於每個光子動量為 hν/c，考慮角度 θ 導致的投影，就可以得到單位時間單位面積上以立體角 dΩ 入射的 dν 頻段的光子所傳遞的動量：

其中因子 2 是考慮了反射，即動量改變要乘以 2。單位時間的動量改變就等於力，再加上考慮的是單位面積，因此上式就是這部分光對黑體的壓強。注意上式的兩處 hν 剛好消掉，因此對整個頻段的積分其實就只是對 I_Ω(ν) 的積分，對 I_Ω(ν) 的整個頻段積分結果是 I_Ω。再對整個半球立體角積分就可以得到總壓強：

下圖就是張朝陽在直播課上推匯出的黑體輻射壓強與溫度的關係式：

(張朝陽推導黑體輻射壓強公式)

接著，他將剛剛得到的黑體輻射壓強公式應用到計算太陽輻射層光壓的場景中。張朝陽打趣道，現在氣體壓強的“援軍”到了，我們還需要知道這個“援軍”能不能抵抗住引力的壓縮。因為太陽中心溫度是一千多萬開爾文，而溫度隨著半徑的下降是相對緩慢的，因此張朝陽假設輻射層溫度為 700 萬開爾文，將其代入光壓公式，得到光壓約為 10^12 Pa 量級 (注：具體代入相關資料後得到的值約為 6×10^11 Pa)。

他指出，前面估算得到太陽中心壓強是 1.7×10^16 Pa，如果輻射層某處密度是核心層平均密度的千分之一，那麼根據前面的推導，輻射層這一處的壓強就是 1.7×10^13 Pa。假如溫度的緩慢下降使得氣體壓強不足以提供所需的 1.7×10^13 Pa，根據剛剛推導的光壓量級，光子是有望提供相應的壓強作為補充的。