開普勒第二定律是角動量守恆的結果？中子星的自轉角速度怎麼估算？4 月 17 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十六期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，帶著網友們複習了上一次直播課所介紹的角動量知識，並藉助角動量守恆定律證明了開普勒第二定律，然後回到本次課程的最初目的，即科普中子星是怎麼形成的，最終利用所介紹的角動量知識估算了中子星的旋轉速度。

複習角動量定理 重溫開普勒第二定律

直播開始後，張朝陽首先寫出上次課程推匯出來的質點系角動量定理：

這個定理應用於剛體的定軸轉動可以得到非常簡潔的形式。他把牛頓第二定律一併寫下作為比較：

其中第一個式子是剛體定軸轉動的角動量定理在轉軸方向的分量的表示式，其中 τ 是外力矩，I 是剛體的轉動慣量。第二個式子是質點的牛頓第二定律。張朝陽介紹說，這兩個式子形式上非常相似。力矩在轉動裡起到類似力的作用，而轉動慣量就則與質量類似，衡量轉動改變的難易程度，也就是剛體的“轉動慣性”。剛體定軸轉動的情況下，轉動慣量的公式為：

其中 r 是質量微元 dm 距離轉軸的距離。此時，角動量的表示式為：

如果外力矩等於 0，那麼角動量不隨時間改變，這就是角動量守恆定律。對於理想剛體，角動量守恆表現為轉動慣量和角速度的乘積不隨時間改變。

(張朝陽通過角動量守恆證明開普勒第二定律)

角動量定理是普遍成立的，因此不僅可以用在剛體的運動上，還可以應用於中心力場的運動中。引力場作為典型的中心力場，角動量定理也能發揮重要作用。在質量為 M 的星球的引力場中，質量為 m 的質點受到的引力為：

那麼質點受到的力矩為：

所以，質點的角動量不隨時間變化。張朝陽繼而推導質點的角動量表達式，具體地：

其中 v 是粒子的速度。以質點的軌跡平面為極座標面、星球所在位置為原點，建立柱座標系，那麼粒子的速度向量可以寫為：

其中字母上方加一點表示對時間求一階導數。將上式代入角動量公式後可得：

因此，mr^2dθ/dt 不隨時間變化。

對這個結果，張朝陽進一步解釋說，考慮質點和星球的連線，dθ 是這根線在 dt 時間內轉過的角度，因此 r^2dθ/2 是這根線在 dt 時間內掃過的面積。換言之，這根連線在單位時間內掃過的面積為常數，這就是開普勒第二定律，它可以作為角動量守恆的簡單推論。

恆星的演化與中子星的形成

複習完角動量定理，張朝陽把我們帶回了最初的目的：計算中子星的旋轉速度。對此，我們先來了解一下中子星的形成過程。

測量眾多恆星的溫度和光度，並繪製在一張圖表上，從而反映恆星顏色與星等的分佈特徵，這有助於分析恆星的演化過程。該圖被稱為赫羅圖（Hertzsprung-Russell diagram）。當恆星處在主序星階段時，會根據自身質量而處於光度-溫度圖上一條特定的曲線附近，形成一個被稱為主序帶的帶狀圖形。

(張朝陽展示的赫羅圖)

恆星的質量越大，其表面溫度越高，光度越大，同時壽命也越短。處於主序階段的恆星都是通過氫核聚變成氦核獲取能量，當恆星的燃料逐漸消耗殆盡時，它會逐步離開主序帶。與太陽質量相當的恆星，在生命末期時，其外層會被推開，變成紅巨星，並進一步形成行星狀星雲，而它的核心最後會變成白矮星。

白矮星是一種靠內部電子氣體的簡併壓抗衡引力收縮的天體，它發出的光接近白色。而大於 8 倍太陽質量的恆星，生命末期會發生超新星爆發，並將大量的物質拋灑出來。超新星爆發會產生非常極端的物理環境，從而使原子序號排在鐵原子之後的元素被創造出來。

太陽系中的重元素就來自於超新星爆發過程。太陽內部目前只能製造一些輕核，重核則來自於很久以前在附近發生的超新星爆發。超新星爆發也會留下一個緻密的核心，這個核心的質量超過 1.4 倍太陽質量，導致電子簡併壓不足以抗衡引力的壓縮，從而繼續塌縮直到質子和電子反應成為中子，並由中子簡併壓來抵抗引力。處於這個階段的天體就被稱為中子星。如果這個核心的質量更大，使得中子簡併壓也無法抗衡引力，那麼它就會進一步塌縮成為黑洞。

中子星內部原子結構不復存在，只靠核子緊密地擠壓在一次。這導致中子星的體積極小，大約在 10 公里量級；同時它的質量又很大，大約為 2 倍太陽質量。於是中子星的密度極高，一小勺中子星物質就有好幾億噸。

恆星一般都存在自轉。即使之前其自轉速度很低，在形成中子星之後，由於體積急劇縮小、轉動慣量也急劇變小，最終中子星的轉速也會非常之高。這就像是花樣滑冰運動員在轉動時把手縮回來，從而提高了自轉速度。

另一方面，中子星表面存在非常強的磁場，由於各種物理效應，中子星會沿磁極發生強烈的輻射，就像一個手電筒那樣。中子星的磁極和旋轉軸一般不重合，於是其輻射方向會不斷地、快速地週期變化。從地球的角度來看，人們會觀測到中子星不斷地發射脈衝。當“手電筒”旋轉指向地球時，會觀測到一個脈衝峰值。這樣的脈衝峰值會因中子星的自轉而不斷重複，這就是中子星作為脈衝星模型的由來。

估算中子星的自轉角速度

接下來開始估算脈衝星的自轉角速度。因為 8 至 15 倍太陽質量的恆星最後會形成中子星，張朝陽取典型情況，以恆星質量約為 10 倍太陽質量進行估算。由於恆星的質量大部分集中在核心，若把核心看成均勻球體，可以估算其核心質量大約是太陽核心的 10 倍，從而核心半徑大約是太陽核心半徑的兩倍。

在超新星爆發之後，這個恆星內部的 1.5 倍太陽質量會變成中子星。在這裡，張朝陽作了一個假定：超新星爆發時內部物質的角動量沒有被傳遞出來，於是最終中子星的角動量就等於原來 1.5 倍太陽質量的內部物質的角動量。為了估算這部分角動量，就需要知道其轉動慣量，所以接下來需要估算這 1.5 倍太陽質量的物質在恆星階段的體積是多大。

由於這個恆星初始質量為 10 倍太陽質量，根據以前直播課程對太陽的介紹，可以估算這個恆星的核心大約為 5 倍太陽質量。而核心裡 1.5 倍太陽質量的物質會變成中子星，佔整個核心質量大約 1/3，於是可以估算這部分物質的半徑大約是核心半徑的 3 的三次方根分之一，也就是大約是核心半徑的 0.6 (注：3 的三次方根分之一約等於 0.69，不過由於這裡做的是估算，採用 0.6 同樣合理)。

太陽核心半徑約為 16 萬公里，而前面估算 10 倍太陽質量的恆星，其核心半徑約是太陽核心半徑的 2 倍，於是可以估算得到恆星內 1.5 倍太陽質量物質對應的半徑約為 0.6×2×16 萬公里，約等於 20 萬公里。

有了質量也有了半徑，就可以估算它的轉動慣量了。不過，張朝陽還通過另一種方法估算了這 1.5 倍太陽質量的核心物質的平均密度。因為恆星的能量來源主要是氫的聚變，這就決定了不同質量的恆星核心溫度大致相同，而在恆星形成之初，氫核主要通過引力加速達到能產生核聚變的溫度，於是：

其中 T 是核心溫度，k 是玻爾茲曼常數，m_p 是質子質量，Mc 和 Rc 分別是核心質量和半徑，ρ 上加一橫表示核心的平均密度。由於不同質量的恆星核心溫度大致相同，所以核心平均密度與核心半徑的平方成反比。前面估算了 10 倍太陽質量的恆心的核心半徑大約是太陽的核心半徑的 2 倍，所以：

其中 ρ_sc 表示太陽核心的平均密度。由於 1.5 倍太陽質量的物質處於核心的裡邊，密度必然比平均密度高，所以張朝陽估算它的密度是整個核心平均密度的 2 倍，也就是 60g / cm^3。(注：根據前面估算的半徑，計算得到的密度約為 90g / cm^3，比此處估算值大一半。後文將採用 60g / cm^3 的估算值進行計算。)

接下來估算這 1.5 倍太陽質量物質的轉動慣量。轉動慣量表達式中的 r 是柱座標上的 r，不過為了簡化計算，張朝陽將其看成是球座標下的 r，於是：

其中下標 mc 表示與這 1.5 倍太陽質量的物質相關的量。

對於中子星，根據目前天體物理的認識，張朝陽估算中子星核心密度約為表面密度的 1/4，而且密度從內到外線性變化，用 ρ_nc 表示中子星中心密度，於是中子星密度分佈為：

其中 R 是中子星半徑。這樣可以估算中子星的轉動慣量為：

那麼根據角動量守恆，可以估算得到中子星的自轉角速度為：

其中 n 下標表示中子星，s 下標代表太陽。張朝陽假設恆星核心的旋轉速度不依賴於質量，因此使用太陽核心的旋轉速度作為中子星形成前的旋轉速度。根據目前天體物理對中子星密度的估值，張朝陽使用 5×10^14 g / cm^3 作為中子星中心密度，代入數值可以得到中子星旋轉角速度約為太陽核心旋轉角速度的 10^9 倍。這是一個非常強的放大效應。

接著，張朝陽展示了太陽內部各處的旋轉頻率：

(張朝陽展示的太陽內部各處旋轉頻率)

其中核心的旋轉頻率約為 400×10^(-9) Hz，因此可以推算得到中子星的旋轉頻率為 400Hz，也就是每秒轉 400 圈。考慮到中子星存在兩個磁極，也就是兩個發射脈衝的方向，從而中子星每秒脈衝約 800 下。“中子星的脈衝頻率在毫秒量級”。這些估算結果與目前的天文觀測值比較接近。

(張朝陽估算中子星的旋轉頻率)