整數劃分

描述

將正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不 
同劃分個數。 
例如正整數6有如下11種不同的劃分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

輸入

第一行是測試資料的數目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一個整數n（1<=n<=10）。

輸出

輸出每組測試資料有多少種分法。

樣例輸入

1
6

樣例輸出

11

思路：動態規劃：我們用q[n][m]表示整數n (零數不超過m)的劃分數。

           ①當n = m 時，q[n][n]=q[n][n-1]+1;

           ②當n < m 時，q[n][m]=q[n][n];

           ③當n > m 時, q[n][m]=q[n][m-1]+q[n-m][m];

程式碼如下：（遞推版）

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define n 11
int main()
{
   int q[n+1][n+1];
   int i,j;
   for(i=1;i<=n;i++)
     q[i][1]=q[1][i]=1;
   for(i=2;i<=n;i++)
    for(j=2;j<=n;j++)
    {
       if(i==j)
         q[i][i]=q[i][i-1]+1;
       else if(i<j)
         q[i][j]=q[i][i];
       else
         q[i][j]=q[i][j-1]+q[i-j][j];
    }
    int m,T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
       cin>>m;
       cout<<q[m][m]<<endl;
    }
      
   return 0;
}
 

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int fac(int n,int m)
{
   if(n==1||m==1)return 1;
   if(n==m)return 1+fac(n,n-1);
   if(n>m) return fac(n,m-1)+fac(n-m,m);
   return fac(n,n);//n<m
}
int main()
{
    int n,T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
       cin>>n;
       cout<<fac(n,n)<<endl;
    }
   return 0;
}
 

第二種解法：

按照樓下weiwei2012start  的說法：研究了一下：這個整數劃分其實就是一個多重揹包問題。
具體解法如下：

一個數n可以看成揹包容量為n的揹包，f[n]由n個價值和花費分別為i 的物品，能裝滿揹包的種類數，而每種物品的數量不限，正好是一個完全揹包問題。

    int f[1000];
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0]=1;//注意這裡很重要
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=i; j<=n; j++)
            f[j]=f[j]+f[j-i];

f[121]=2056148051;

f[500]=2300165032574323995027;