整數劃分

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難度：3

描述

將正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不 
同劃分個數。 
例如正整數6有如下11種不同的劃分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

輸入

第一行是測試資料的數目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一個整數n（1<=n<=10）。

輸出

輸出每組測試資料有多少種分法。

樣例輸入

1
6

樣例輸出

11

來源

上傳者

苗棟棟
思路：有三種做法

第一種：水過去，反正資料範圍小可以直接算出來

程式碼：

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define chu(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define T() int test;scanf("%d",&test);while(test--)
const int maxn=2010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int sum[maxn];
int an[]={1,2,3,5,7,11,15,22,30,42};
int main()
{
    T()
    {
        int n,i,j,k;
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",an[n-1]);
    }
    return 0;
}
 

第二種：遞迴這種也好理解

程式碼：

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define chu(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define T() int test;scanf("%d",&test);while(test--)
const int maxn=2010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int sum[maxn];
int ans=0;
int ff(int k,int s)
{
    if(k==1||s==1)
        return 1;
   if(k==s)
   return 1+ff(k,s-1);
   if(k<s)
    return ff(k,k);
   if(k>s)
    return ff(k-s,s)+ff(k,s-1);
}
int main()
{
    T()
    {
        int n,i,j,k;
        scanf("%d",&n);
       printf("%d\n",ff(n,n));
    }
    return 0;
}
 

第三種：區間DP

思路：

陣列dp[N][M]表示N為被劃分數，M為劃分數的最大值，此題M==N，故即求dp[N][N];

1>狀態轉移方程：

dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M];

該怎樣理解呢？這裡分兩步：

Step 1:所劃分的最大數不包括M，即每個劃分數都是小於M的，此時總數為dp[N][M-1].

Step 2:所劃分的最大數包括M，那麼這一步被劃分數就應該減去一個M，此時總數為dp[N-M][M].

程式碼：

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define chu(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define T() int test;scanf("%d",&test);while(test--)
const int maxn=2010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int sum[maxn];
void input()
{
    int i,j;
    for(i=1; i<=10; i++)
    {
        for(j=1; j<=10; j++)
        {
            if(i==j)
                dp[i][j]=1+dp[i][j-1];
            else if(i<j)
                dp[i][j]=dp[i][i];//因為只能是從大到小，所以當j大於i的時候等於dp[i][i]
            else
                dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];//小於的時候，j還可以再分
        }
    }
}
int main()
{
    input();
    T()
    {
        int n,i,j,k;
        scanf("%d",&n);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        printf("%d\n",dp[n][n]);
    }
    return 0;
}